Технология критического мышления, проблемно-аналитическое обучение
9
класс.Урок алгебры
Тема "Числовые последовательности"
Цели:
- обучающая: сформировать представление о понятии последовательности; в частности, представления последовательностей, как результата вычисления функции с натуральным аргументом;
- развивающая: научиться ставить задачу о нахождении закономерности в последовательностях и научиться,непосредственно, их находить;
- воспитательная: расширять научную картину мира, места в ней математической науки; развивать эстетическое восприятие
Педагогические технологии:
- технология критического мышления, цель которой - развитие мыслительных навыков обучающихся, необходимых не только в учебе, но и в обычной жизни (умение принимать взвешенные решения,работать с информацией, анализировать различные стороны явлений и т.п.).
- проблемно-аналитическое обучение способствует развитию у учащихся познавательных умений, готовит ученика к поиску самостоятельного решения.
Тип урока: изучение нового материала
Оборудование:
–
рабочий лист с планом урока и упражнениями;
–
наглядные рисунки;
–
карточки с заданиями;
– листы с домашним заданием
ПЛАН УРОКА:
Организационный момент
Общее описание объектов изучаемого материала/проведение метапредметных связей
Углубление и расширение изученного материала
Решение упражнений по пройденному материалу
Подведение итогов
Постановка домашнего задания
Ход урока:
Организационный момент
Учитель: здравствуйте!Тема сегодняшнего урока: "Числовые последовательности" (записывается на доске; учащиеся записывают в тетрадях)
Пока учащиеся пишут тему – учитель отмечает отсутствующих;дежурный ученик помогает.
Общее описание объектов изучаемого материала/проведение метапредметных связей
Учитель: для того, чтобы понять, что такое последовательности, как и с какой целью их изучают –рассмотрим такой пример: скажите, для начала, по какой траектории летят брошенные объекты?
Учащиеся: парабола.
Учитель: да; как известно из курса физики – по параболе;итак, рассмотрим пример того, о чём все вы слышали – о существующих баллистических ракетах, а также о локаторах и противоракетах.Все вы в курсе
этих понятий?
Учащиеся подтверждают.
Учитель: итак, представим такую ситуацию: локационные
станции одной страны фиксируют выпущенную ракету в следующих точках (делается
соответствующий эскиз на доске) и есть основания полагать, что ракета выпущена
против этой страны; зачем это делается?
Учащиеся: наверное, чтобы составить параболу, по которой
движется эта ракета.
Учитель: (объединяя точки в линию) действительно; а зачем
эта парабола?
Учащиеся: чтобы определить, в какую точку летит эта ракета –
и перехватить её.
Учитель: да, совершенно верно. Итак, что мы тут видим –
отдельные данные могут объединяться в осмысленную систему – а система даёт
представление о дальнейших событиях.
Но, конечно, любая противоракета (как и сама ракета) может
быть сбой; конечно же, никто в мире не может чувствовать себя в безопасности,
пока существует сам факт нацеленных ракет, способных уничтожать целые города.
Настоящая борьба должна вестись не с ракетами противника, а за установление
мира и ограничение оружия.
Но, рассмотрим пример гораздо более полезный – и знакомый
тем, кто работает с компьютером; в частности, известный вам из информатики.
Речь идёт о программах компьютерной графики; они, как известно, бывают
растровые и векторные (впрочем, современные версии программ, более или менее совмещают
то и другое). В чём их отличие?
Учащиеся: растровые обрабатывают отдельно каждый пиксель, а
векторные – объединяют отдельные узлы в линии, положение которых можно менять.
Учитель: верно; а что позволяет векторным программам
объединять множество точек в обобщающую линию?
Учащиеся: наверное, как и в примере выше, компьютер
вычисляет какой-то график, объединяющий эти точки?
Учитель: да; как и в предыдущем варианте, отдельные данные,
на самом деле, являются объектами той или иной обобщающей системы.
То же самое можно наблюдать, например, в примерах некоторых
онлайновых игр: в которых игроки выбирают участки тела персонажей друг друга по
которым наносится удар – и, соответственно, защищаемые участки: если делать это
по какой-то схеме (например – удар по ногам, два удара по голове, удар по
ногам) – противник быстро уловит эту закономерность и, далее, удары не будут
достигать цели; поэтому, чем более разбросанными будут удары, тем больше шансов
у вас поразить соперника.
Но, если бы соперником, в таком примере, была компьютерная
программа (примеры таких, кстати, существуют) – она уловит закономерность
вашего выбора, даже если самим вам будет казаться, что это совершенно случайные
действия; но, любая последовательность, опять же, имеет свои законы.
Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров:
III. Углубление и расширение нового
материала
Учитель: например, есть последовательность (записывается на
доске) 2, 4, 6, 8; можете вы назвать следующие члены последовательности?
Учащиеся: 10, 12, 14…
Учитель: да; а как вы определили?
Учащиеся: это последовательность чётных чисел.
Учитель: совершенно верно; и, как и в первом примере,
теперь, зная смысл последовательности, мы можем сразу установить, куда она
идёт; как видите, на первом месте последовательности стоит число 2
(обозначается номер места); на втором – 4; на третьем 6, на 4-м – 8; можем мы
предсказать число, стоящее на 10-м месте?
Учащиеся: 20?
Учитель: а на 1000-ом?
Учащиеся: 2000?
Учитель: а на миллионном?
Учащиеся: 2 миллиона.
Учитель: совершенно верно; а как же вы находите эти
значения?
Учащиеся: умножаем номер места на 2.
Учитель: да, верно; и, если нам потребуется найти
произвольный n-ный
член последовательности, мы можем записать такую формулу (на доске записывается
"a n
=") – что надо сделать с номером n?
Учащиеся: умножить на 2?
Учитель: да; совершенно верно; запишите эту
последовательность, а ниже – формулу для неё: " an = 2 x n"; an – это специальный
символ; буквой а принято обозначать член последовательности (на самом деле
можно выбрать любую другую маленькую латинскую букву), а маленькая n рядом указывает на то, какой это
член: a1
обозначает 1-ый член; a7
– седьмой член; a1000000
– миллионный член. Например, в записанной вами последовательности, a2 равно чему?
Учащиеся: 4.
Учитель: верно; а a4?
Учащиеся: 8.
Учитель: совершенно верно; давайте запишем формулу n-ного члена этой последовательности
(пишется последовательность 3, 6, 9, 12); как вычислить n-ный член?
Учащиеся: умножить n
на 3?
Учитель: да, верно: значит надо записать, что an = ?
Учащиеся: 3 х n.
Учитель: да (записывается на доске); и теперь мы сразу можем
вычислить 200-ый член последовательности: (пишется на доске) a200 равно
– что надо сделать?
Учащиеся: 200 умножить на 3.
Учитель: да (записывается a200
= 200 х 3); и будет?
Учащиеся: 600.
Учитель: да, запишите и этот пример.
Учитель: но бывают последовательности и совершенно другого
типа (записывается на доске): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Попробуйте назвать
следующее число?
Учащиеся (после некоторого размышления, возможно – ошибок и
наводящих вопросов): 21?
Учитель: да; а как получено это число?
Учащиеся: 8 + 13; тут каждое следующее число является суммой
двух предыдущих.
Учитель: да, верно; записывается это таким образом (запишите
последовательность и эту формулу): an = an-1
+ an-2
какой 6-ой член этой последовательности?
Учащиеся: 8.
Учитель: верно; и, если бы мы его не знали, мы могли бы
посчитать его (на доске записывается "a6 ="); для
этого нам понадобился бы член с номером n – 1; для шестого члена это был бы?
Учащиеся: 5-ый?
Учитель: да; записывается "a6 = a5 +"; и ещё с
номером n
– 2; это?
Учащиеся: 4-ый.
Учитель: да; " a6 = a5 + a4"; теперь
подставим: на самом деле, a5
равняется?
Учащиеся: 5.
Учитель а a4?
Учащиеся: 3.
Учитель: итак, "a6 = a5 + a4 = 5 + 3 =
8"; всё получилось, как нужно.
Конечно, такая формула (когда последовательность задаётся с
помощью предыдущих членов) не очень удобна; мы можем вычислить её следующий
член; давайте сделаем это; после 21 идёт?
Учащиеся: 34.
Учитель: а дальше?
Учащиеся: 55.
Учитель: но, чтобы найти эти числа, мы, каждый раз, должны
знать два предыдущих; значит, если бы нам потребовался бы миллионный член этой
последовательности, нам пришлось бы вычислить девятьсот девяносто
девятитысячный девятьсот девяносто девятый и девятьсот девяносто девятитысячный
девятьсот девяносто восьмой! Разумеется, это заняло бы огромное количество
времени.
На самом деле, вообще-то, всё несколько проще: великим
французским математиком, Бине, одним из основателей алгебраической науки, давно
выведена формула:
(записывается на доске),позволяющая сразу вычислять нужный член этой последовательности (а сама она,между прочим, названа именем итальянского монаха-математика Фибоначчи;настоящее имя – Леонардо Пизанский); но, конечно, для работы в школе она слабо годится.Здесь же она записана чтоб исключить сомнения – в любых, даже очень сложных случаях, есть возможность вывести подходящий математический закон; и ещё потому, что знать, хотя бы в общих чертах, числа Фибоначчи (запишите возле последовательности это имя; учитель записывает на доске) необходимо образованному человеку; ну и потому, что на числах этой последовательности, каки элементах формулы Бине (её часть,
, называется "золотое сечение") построены многие природные объекты, а люди, заметив это, применяют их в архитектуре и прочих сферах; демонстрируются рисунки:
это –спираль Фибоначчи: объединение окружностей, вписанных в квадраты, стороны которых – одно из чисел Фибоначчи; посмотрите, мы действительно видели числа 5,8, 13, 21 в последовательности выше; а это:
закручивающиеся,по спирали Фибоначчи, семена цветка; или погодный фронт, перемещающийся по тому же закону
А вот применение золотого сечения: это – схема построения Парфенона, знаменитого своей красотой античного храма, известного вам из истории; огромное число измерений в нём соответствует принципу, по которому ширина во столько же раз больше высоты, во сколько раз высота и ширина вместе больше просто ширины; это "во столько раз" и выражается числом
, обеспечивающим наилучшее восприятие.
Что ж, теперь, услышав многое о различных последовательностях, давайте попробуем сформулировать, чему мы должны научиться на сегодняшнем уроке и вообще – изучая тему?
Учащиеся (после некоторого размышления и, возможно, с наводящими вопросами): определять законы построения последовательности и научиться находить их элементы.
IV. Решение заданий по новому материалу
Учитель: рассмотрим
конкретные законы вычисления последовательностей (на доске записывается формула
an
= 4n
+ 1); кто хотел бы найти значения a1, a2, a3, a4?
Желающего ученика вызывают к доске; он вычисляет члены
последовательности, остальные работают в тетрадях.
Когда задание выполнено – учитель уточняет: какую
закономерность можно наблюдать в последовательности? На сколько возрастает
каждый её член?
Отвечающий у доски (если затрудняется – ему помогают
вызываемые учащиеся с места): на 4.
Учитель: а почему же начинается не с 4?
Отвечающий: потому что к первому члену добавляется единица.
Учитель: да, совершенно верно. А есть желающие вычислить
первые четыре члена этих последовательностей: an = 3n – 2; an = –2n + 5?
Желающие выходят к доске одновременно: выполняют задания;
остальные решают на месте.
Учитель: а теперь – поработаем в группах; как вы сидите,
каждый ряд получит одно общее задание (если, из-за отсутствия некоторых
учащихся, на рядах оказывается сильно неравно число учащихся – некоторым
предлагается пересесть); каждому ряду даётся последовательность чисел,
построенная по закону аналогичному последовательностям, вычисленным на доске;
задача каждого ряда – восстановить этот закон.
По рядам
раздаются карточки с написанными числами:
I ряд: –2,
1, 4, 7 (3n – 5)
II ряд: 5, 2, –1, –4 (–3n + 8)
III ряд: 6, 11, 16, 21 (5n + 1)
3-5 минут учащиеся работают самостоятельно, потом – к доске
приглашаются ученики, демонстрирующие результаты.
Учитель: хорошая работа. А теперь посмотрите на эти задания
(на доске закрепляются карточки с последовательностями: 1, 4, 9, 16; 1, 1/3,
1/5, 1/7; (–1), 1, (–1), 1; 1, 2, 6, 24). Это тоже последовательности, но уже
построенные по другим принципам. Сегодня этот принцип будет подсказан; ваша
задача определить, где какой случай (на доске, также, закрепляются подсказки: an = n2, an = 1/(n + 2), an = (–1)n, a1 = 1; an = an – 1 x n).
Желающие выходят к доске, проводя соответствующие стрелки и
объясняя закон; соответствия, также, записываются в тетрадях.
Учитель: отлично! А теперь подумайте над вопросом: а может
ли существовать последовательность, числа в которой равны?
Учащиеся (после размышления и, возможно, наводящих
вопросов): например: 4, 4, 4.
Учитель:
и как же она построена?
Учащиеся:
на каждом шагу добавляется 0.
Учитель:
верно. А может быть последовательность 0, 0, 0?
Учащиеся:
да, каждому числу добавляется 0.
Учитель:
а другой закон?
Учащиеся:
или каждый член умножается на 2.
Учитель:
или?
Учащиеся:
или на 3. На 4 и так далее.
Учитель:
а ещё действия?
Учащиеся:
или возводится в степень.
Учитель:
кроме?
Учащиеся:
нуля, потому что 0 нельзя возводить в нулевую степень.
V. Подведение итогов
Учитель: отлично. Сегодня
вы хорошо поработали; мы узнали, что существуют последовательности чисел; что
они укладываются в тот или иной закон. Сейчас пришло время выставления оценок
(озвучиваются заслуженные оценки).
VI. Постановка домашнего задания
Учитель: к следующему
уроку вам надо выполнить такие задания (раздаются карточки с заданиями);
обратите внимание – закон, в первом номере, сложнее чем тот, с которым работали
сегодня, но подобные действия мы выполняли ещё в 8-м классе, находя значения различных
функций; а вот номер 2 – совершенно аналогичен заданию, решённому в классе.
Учитель: урок окончен; до свидания.
Содержание карточек с домашним заданием:
1. Напишите первые 7 членов последовательности, заданной
формулой: an
= n3
+ 1
2. Установите закон, по которому построена
последовательность: 3, 8, 13, 18
3. Последовательность (называемая Биномом Ньютона) построена
по принципу: каждый её член равен сумме двух, стоящих справа и слева выше него;
запишите два следующих ряда этой последовательности:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Комментариев нет:
Отправить комментарий